FRAÇÃO
Elementos Históricos sobre frações
Há 3000 antes de Cristo, os geômetras
dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do
rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio
inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários
das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma
marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores
de cordas.
As pessoas utilizavam as cordas,
esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava
contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno,
isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim
eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número
fracionário, onde eles utilizavam as frações.
Às vezes, ao tentar partir algo em
pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do
mesmo tamanho.
Logo isso daria uma grande confusão,
pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É
lógico que alguém sairia no prejuízo.
Pensemos neste exemplo: Dois irmãos
foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais,
uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas
e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o
tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:
Para que nenhum dos dois comesse menos,
cada um daria metade do chocolate para a amiga.
§ Você concorda com esta divisão? Por quê?
§ Como você poderia resolver esta situação para que todos
comessem partes iguais?
§ O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não
fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.
Para representar os elementos que não
são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto
matemático denominado fração.
O conjunto dos números naturais,
algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um
número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será
representado por:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
Logo, todos os números naturais
representam partes inteiras.
Os números que não representam partes
inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais
não-negativos, aqui representados por Q+, onde esta letra Q
significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.
Q+ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,...,
1,...,2,... }
Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.
Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.
Os numerais que representam números
racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros
utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma
linha horizontal ou traço de fração.
Numerador
Denominador
|
onde Numerador indica quantas
partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o
traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o
inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de
zero.
Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não
proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão
pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a
divisão de dois números.
Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:
1
4
|
Em linguagem matemática, as fracões
podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada
mais comum.
1/4
|
1/4
|
1/4
|
1/4
|
A unidade foi dividida em quatro partes
iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi
sombreada uma dessas partes.
(a) O
numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10
A leitura de uma fração da forma 1/d,
onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:
Fração
|
1/2
|
1/3
|
1/4
|
1/5
|
1/6
|
1/7
|
1/8
|
1/9
|
Leitura
|
um meio
|
um terço
|
um quarto
|
um quinto
|
um sexto
|
um sétimo
|
um oitavo
|
um nono
|
(b) O
numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10
Quando a fração for da forma 1/d, com d
maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.
Avos é um substantivo masculino usado na
leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a
unidade e se cujo denominador é maior do que dez.
Fração
|
Leitura
|
1/11
|
um onze avos
|
1/12
|
um doze avos
|
1/13
|
um treze avos
|
1/14
|
um quatorze avos
|
1/15
|
um quinze avos
|
1/16
|
um dezesseis avos
|
1/17
|
um dezessete avos
|
1/18
|
um dezoito avos
|
1/19
|
um dezenove avos
|
(c) O
numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10
Se o denominador for múltiplo de 10,
lemos:
Fração
|
Leitura
|
Leitura Comum
|
1/10
|
um dez avos
|
um décimo
|
1/20
|
um vinte avos
|
um vigésimo
|
1/30
|
um trinta avos
|
um trigésimo
|
1/40
|
um quarenta avos
|
um quadragésimo
|
1/50
|
um cinqüenta avos
|
um qüinquagésimo
|
1/60
|
um sessenta avos
|
um sexagésimo
|
1/70
|
um setenta avos
|
um septuagésimo
|
1/80
|
um oitenta avos
|
um octogésimo
|
1/90
|
um noventa avos
|
um nonagésimo
|
1/100
|
um cem avos
|
um centésimo
|
1/1000
|
um mil avos
|
um milésimo
|
1/10000
|
um dez mil avos
|
um décimo milésimo
|
1/100000
|
um cem mil avos
|
um centésimo milésimo
|
1/1000000
|
um milhão avos
|
um milionésimo
|
Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um, três mil quinhentos
e noventa e sete avos.
A representação gráfica mostra a fração
3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o
denominador.
1/4
|
1/4
|
1/4
|
1/4
|
A fração cujo numerador é menor que o
denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é chamada fração
própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é,
representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração
imprópria.
3/3
|
+
|
2/3
|
=
|
5/3=1+2/3
|
Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador e
aparenta ser uma fração mas não é, pois representa um número inteiro. Como um
caso particular, o zero é múltiplo de todo número inteiro, assim as frações
0/3, 0/8, 0/15 são aparentes, pois representam o número inteiro zero.
Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. Se
multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente
pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui
um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.
1/2
|
2/4
|
3/6
|
4/8
|
Propriedades fundamentais
(1) Se multiplicarmos os termos
(numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos
uma fração equivalente à fração dada:
1
2
|
=
|
1×2
2×2
|
=
|
2
4
|
(2) Se é possível dividir os termos
(numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos
uma fração equivalente à fração dada:
12
16
|
=
|
12÷2
16÷2
|
=
|
6
8
|
=
|
6÷2
8÷2
|
=
|
3
4
|
A fração como uma classe de equivalência
A classe de equivalência de uma fração
é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de
trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente
poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante
desta classe. Esta fração será denominada um número racional.
Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações
equivalentes a 1/3, como:
C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, ... }
Número Misto
Quando o numerador de uma fração é
maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decomposição desta
fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado
número misto.
Transformação de uma fração imprópria em
um número misto
17
4
|
=
|
16+1
4
|
=
|
16
4
|
+
|
1
4
|
= 4+
|
1
4
|
=
|
4
|
1
4
|
Transformação de um número misto em uma
fração imprópria
4
|
1
4
|
=
|
4+
|
1
4
|
=
|
16
4
|
+
|
1
4
|
=
|
17
4
|
Simplificação de Frações
Simplificar frações é o mesmo que
escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de
ser manipulada.
O objetivo de simplificar uma fração é
torná-la uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo
Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e
o Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação pode ser feita
através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração.
A divisão sucessiva corresponde a
dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela
se torne irredutível.
36
60
|
=
|
36÷2
60÷2
|
=
|
18
30
|
=
|
18÷2
30÷2
|
=
|
9
15
|
=
|
9÷3
15÷3
|
=
|
3
5
|
Respectivamente, dividimos os termos
das frações por 2, 2 e 3.
Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo
Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração
diretamente por esse valor.
Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando o Máximo Divisor Comum.
Como MDC(54,72)=18, então 54:18=3 e 72:18=4, logo:
54
72
|
=
|
54÷18
72÷18
|
=
|
3
4
|
Comparação de duas frações
(1) Por
redução ao mesmo denominador
Se duas frações possuem denominadores
iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Por exemplo:
3
5
|
<
|
4
5
|
(2) Tanto
os numeradores como os denominadores das duas frações são diferentes
Devemos reduzir ambas as frações a um
denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum
entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na
seqüência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e
multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.
Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores
são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo
denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo
denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número
pelo numerador.
2
3
|
?
|
3
5
|
Multiplicando os termos da primeira
fração por 5 e multiplicando os termos da segunda fração por 3, obteremos:
2
3
|
=
|
2×5
3×5
|
?
|
3×3
5×3
|
=
|
3
5
|
Temos então os mesmos denominadores,
logo:
2
3
|
=
|
10
15
|
?
|
9
15
|
=
|
3
5
|
e podemos garantir que
2
3
|
=
|
10
15
|
>
|
9
15
|
=
|
3
5
|
(3) As
frações possuem um mesmo numerador
Se os numeradores de duas frações forem
iguais, será maior a fração cujo denominador for menor.
Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade
3
4
|
>
|
3
8
|
pode ser dada geometricamente por:
3/4=6/8
|
3/8
|
Observe que a área amarelada é maior na
primeira figura.
Divisão de frações
Consideremos inicialmente uma divisão D
de duas frações, denotada por:
D =
|
1
2
|
÷
|
2
3
|
Um modo fácil para explicar esta
divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do
primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:
D =
|
1
2
|
÷
|
2
3
|
=
|
3
6
|
÷
|
4
6
|
pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é
equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de
suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.
3/6
|
4/6
|
Realizar a divisão entre dois números
fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas
partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6
estão ocupadas pela fração 3/6?
No desenho, os numeradores das frações
estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4
partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4,
ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.
Este argumento justifica a divisão de
duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda
fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:
D =
|
1
2
|
÷
|
2
3
|
=
|
3
6
|
×
|
6
4
|
=
|
18
24
|
=
|
3
4
|
Na verdade, há um tratamento mais geral
que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real
c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d.
Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:
a
b
|
÷
|
c
d
|
=
|
a
b
|
×
|
d
c
|
=
|
a.d
b.c
|
A1. Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por
exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.
Logo isso daria uma grande confusão,
pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É
lógico que alguém sairia no prejuízo.
Pensemos neste exemplo: Dois irmãos
foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais,
uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas
e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o
tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:
Para que nenhum dos dois comesse
menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.
§ Você concorda com esta divisão? Por quê?
§ Como você poderia resolver esta situação para que todos
comessem partes iguais?
O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com
a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.
A 2. Receita: Biscoito água na boca
Ingredientes:
v 1/4 kg de açúcar;
v 1/5 kg de margarina;
v
1/2 kg de farinha de
trigo;
Como podemos perceber os números fracionários são assunto de
peso na cozinha.
Participe respondendo a estas perguntas.
1. Qual
a quantidade necessária de cada ingrediente para se fazer duas receitas?
2. Quanto
será necessário de cada ingrediente para se fazer 1 receita e 1/2
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